МегаПредмет

ПОЗНАВАТЕЛЬНОЕ

Сила воли ведет к действию, а позитивные действия формируют позитивное отношение


Как определить диапазон голоса - ваш вокал


Игровые автоматы с быстрым выводом


Как цель узнает о ваших желаниях прежде, чем вы начнете действовать. Как компании прогнозируют привычки и манипулируют ими


Целительная привычка


Как самому избавиться от обидчивости


Противоречивые взгляды на качества, присущие мужчинам


Тренинг уверенности в себе


Вкуснейший "Салат из свеклы с чесноком"


Натюрморт и его изобразительные возможности


Применение, как принимать мумие? Мумие для волос, лица, при переломах, при кровотечении и т.д.


Как научиться брать на себя ответственность


Зачем нужны границы в отношениях с детьми?


Световозвращающие элементы на детской одежде


Как победить свой возраст? Восемь уникальных способов, которые помогут достичь долголетия


Как слышать голос Бога


Классификация ожирения по ИМТ (ВОЗ)


Глава 3. Завет мужчины с женщиной


Оси и плоскости тела человека


Оси и плоскости тела человека - Тело человека состоит из определенных топографических частей и участков, в которых расположены органы, мышцы, сосуды, нервы и т.д.


Отёска стен и прирубка косяков Отёска стен и прирубка косяков - Когда на доме не достаёт окон и дверей, красивое высокое крыльцо ещё только в воображении, приходится подниматься с улицы в дом по трапу.


Дифференциальные уравнения второго порядка (модель рынка с прогнозируемыми ценами) Дифференциальные уравнения второго порядка (модель рынка с прогнозируемыми ценами) - В простых моделях рынка спрос и предложение обычно полагают зависящими только от текущей цены на товар.

Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины





Рассмотрим интервал и определим вероятность того, что непрерывная случайная величина примет значения, заключённые в этом интервале. Согласно свойству 2 имеем . Разделим эту величину на ширину интервала , получим величину вероятности, приходящейся на единицу длины интервала: , которую назовём средней плотностью распределения вероятности на интервале . Введём понятие плотности распределения вероятности в данной точке , определив её как предел средней плотности на интервале при условии, что и указанный предел существует. Обозначим эту плотность распределения вероятностей через , тогда

Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины называют функцию - первую производную от функции распределения :

Зная плотность распределения , можно найти функцию распределения . А именно . Таким образом:

Заметим, что закон распределения непрерывной случайной величины может быть задан как функцией распределения, так и плотностью распределения. Для дискретной случайной величины имеет смысл только функция распределения вероятностей (почему?).

Найдём вероятность того, что непрерывная случайная величина примет значение, принадлежащее интервалу . . Итак

Плотность распределения обладает следующими свойствами:

• .

В частности, если все возможные значения случайной величины принадлежат интервалу , то

.

Из дифференциального исчисления известно, что . Так как , получим

.

Последнее выражение означает: вероятность того, что случайная величина примет значение, принадлежащее интервалу , приближённо равна произведению плотности вероятности в точке на длину интервала . В этом заключается вероятностный смысл плотности распределения.

 

Пример 14. Дана функция плотности распределения случайной величины Х:

 

Определить

Р е ш е н и е. . Отсюда =1. .

Если

если ;

если

Числовые характеристики непрерывных случайных величин

Понятие математического ожидания и дисперсии дискретной величины могут быть распространены на непрерывную случайную величину. Только при этом вероятность того, случайная величина примет данное значение , следует заменить на вероятность попадания случайной величины в бесконечно малый интервал шириной , а суммирование – интегрированием. Из определения функции распределении следует Умножая на и интегрируя от , получим следующую формулу, определяющую математическое ожидание непрерывной случайной величины:

 

при условии, что несобственный интеграл сходится.

 

 

Математическим ожиданием непрерывной случайной величины , возможные значения которой принадлежат отрезку , называют определённый интеграл

Дисперсией непрерывной случайной величины называют математическое ожидание квадрата её отклонения. Если возможные значения принадлежат отрезку

.

При решении задач часто пользуются преобразованной формулой дисперсии. А именно

 

 

Законы распределений

При решении задач приходится сталкиваться с различными распределениями непрерывных случайных величин. Плотности распределений непрерывных случайных величин называют также законами распределений. Часто встречаются законы равномерного, нормального и показательного распределений.

 

Равномерное распределение

Распределение вероятностей называют равномерным, если на интервале, которому принадлежат все возможные значения случайной величины, плотность распределения сохраняет постоянное значение.

Найдём плотность равномерного распределения , считая, что все возможные значения случайной величины принадлежат интервалу , на котором плотность сохраняет постоянное значение. Заметим, что по условию не принимает значений вне интервала, т.е.

Найдём постоянную С. Так как все возможные значения случайной величины принадлежат интервалу то . Откуда и плотность распределения примет вид:

Пример 15. Поезда данного маршрута городского трамвая идут с интервалом 5 минут. Пассажир подходит к трамвайной остановке в некоторый момент времени. Какова вероятность появления пассажира не ранее чем через минуту после ухода предыдущего поезда, но не позднее чем за две минуты до отхода следующего поезда?

Р е ш е н и е. Из условия задачи следует, что надо найти вероятность попадания случайной величины в интервал . Так как распределение равномерное, то и .

 

 

Нормальное распределение

Нормальным называется распределение вероятностей непрерывной случайной величины, которое описывается плотностью

Заметим, что для определения нормального распределения необходимо знать параметры: . Выясним вероятностный смысл этих параметров. Найдём математическое ожидание непрерывной случайной величины

- интеграл Пуассона. Итак, математическое ожидание нормального распределения равно параметру , т.е. .

Определим дисперсию, учитывая, что .

== , т.к. . Итак, . Таким образом второй параметр равен среднему квадратическому отклонению.

Вычислим вероятность попадания в заданный интервал нормальной случайной величины.

 

 

Часто требуется вычислить вероятность того, что отклонение нормально распределённой величины по абсолютной величине меньше заданного положительного числа , т.е. требуется найти вероятность осуществления неравенства .

.

.

Пример 15. Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение нормально распределённой случайной величины соответственно равны 10 и 2. Найти вероятность того, что в результате испытания примет значение, заключённое в интервале (12; 14).

Р е ш е н и е. - .

 

Правило трёх сигм

Преобразуем формулу , полагая . В итоге получим .

Если t=3 и, следовательно, , то , т.е. вероятность того, что отклонение по абсолютной величине будет меньше утроенного среднего квадратического отклонения, равна 0,9973. Другими словами, вероятность того, что абсолютная величина отклонения превысит утроенное среднее квадратическое отклонение, очень мала, а именно равна 0,0027. Это означает, что лишь в 0,27% случаев так может произойти. Такие события практически считаются невозможными. В этом и состоит сущность правила трёх сигм: если случайная величина распределена нормально, то абсолютная величина её отклонения от математического ожидания не превосходит утроенного среднего квадратического отклонения.

На практике правило трёх сигм применяют так: если распределение изучаемой случайной величины неизвестно, но условие, указанное в приведённом правиле, выполняется, то есть основание предполагать, что изучаемая величина распределена нормально; в противном случае она не распределена нормально.

 





©2015 www.megapredmet.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.