 ПОЗНАВАТЕЛЬНОЕ Сила воли ведет к действию, а позитивные действия формируют позитивное отношение Как определить диапазон голоса - ваш вокал Игровые автоматы с быстрым выводом Как самому избавиться от обидчивости Противоречивые взгляды на качества, присущие мужчинам Вкуснейший "Салат из свеклы с чесноком" Натюрморт и его изобразительные возможности Применение, как принимать мумие? Мумие для волос, лица, при переломах, при кровотечении и т.д. Как научиться брать на себя ответственность Зачем нужны границы в отношениях с детьми? Световозвращающие элементы на детской одежде Как победить свой возраст? Восемь уникальных способов, которые помогут достичь долголетия Классификация ожирения по ИМТ (ВОЗ) Глава 3. Завет мужчины с женщиной
Оси и плоскости тела человека - Тело человека состоит из определенных топографических частей и участков, в которых расположены органы, мышцы, сосуды, нервы и т.д.
| Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины
Рассмотрим интервал и определим вероятность того, что непрерывная случайная величина примет значения, заключённые в этом интервале. Согласно свойству 2 имеем . Разделим эту величину на ширину интервала , получим величину вероятности, приходящейся на единицу длины интервала: , которую назовём средней плотностью распределения вероятности на интервале . Введём понятие плотности распределения вероятности в данной точке , определив её как предел средней плотности на интервале при условии, что и указанный предел существует. Обозначим эту плотность распределения вероятностей через , тогда Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины называют функцию - первую производную от функции распределения : Зная плотность распределения , можно найти функцию распределения . А именно . Таким образом: Заметим, что закон распределения непрерывной случайной величины может быть задан как функцией распределения, так и плотностью распределения. Для дискретной случайной величины имеет смысл только функция распределения вероятностей (почему?). Найдём вероятность того, что непрерывная случайная величина примет значение, принадлежащее интервалу . . Итак Плотность распределения обладает следующими свойствами: • . • В частности, если все возможные значения случайной величины принадлежат интервалу , то . Из дифференциального исчисления известно, что . Так как , получим . Последнее выражение означает: вероятность того, что случайная величина примет значение, принадлежащее интервалу , приближённо равна произведению плотности вероятности в точке на длину интервала . В этом заключается вероятностный смысл плотности распределения.
Пример 14. Дана функция плотности распределения случайной величины Х:
Определить Р е ш е н и е. . Отсюда =1. . Если если ; если Числовые характеристики непрерывных случайных величин Понятие математического ожидания и дисперсии дискретной величины могут быть распространены на непрерывную случайную величину. Только при этом вероятность того, случайная величина примет данное значение , следует заменить на вероятность попадания случайной величины в бесконечно малый интервал шириной , а суммирование – интегрированием. Из определения функции распределении следует Умножая на и интегрируя от , получим следующую формулу, определяющую математическое ожидание непрерывной случайной величины:
при условии, что несобственный интеграл сходится.
Математическим ожиданием непрерывной случайной величины , возможные значения которой принадлежат отрезку , называют определённый интеграл Дисперсией непрерывной случайной величины называют математическое ожидание квадрата её отклонения. Если возможные значения принадлежат отрезку . При решении задач часто пользуются преобразованной формулой дисперсии. А именно
Законы распределений При решении задач приходится сталкиваться с различными распределениями непрерывных случайных величин. Плотности распределений непрерывных случайных величин называют также законами распределений. Часто встречаются законы равномерного, нормального и показательного распределений.
Равномерное распределение Распределение вероятностей называют равномерным, если на интервале, которому принадлежат все возможные значения случайной величины, плотность распределения сохраняет постоянное значение. Найдём плотность равномерного распределения , считая, что все возможные значения случайной величины принадлежат интервалу , на котором плотность сохраняет постоянное значение. Заметим, что по условию не принимает значений вне интервала, т.е. Найдём постоянную С. Так как все возможные значения случайной величины принадлежат интервалу то . Откуда и плотность распределения примет вид: Пример 15. Поезда данного маршрута городского трамвая идут с интервалом 5 минут. Пассажир подходит к трамвайной остановке в некоторый момент времени. Какова вероятность появления пассажира не ранее чем через минуту после ухода предыдущего поезда, но не позднее чем за две минуты до отхода следующего поезда?
Нормальное распределение Нормальным называется распределение вероятностей непрерывной случайной величины, которое описывается плотностью Заметим, что для определения нормального распределения необходимо знать параметры: . Выясним вероятностный смысл этих параметров. Найдём математическое ожидание непрерывной случайной величины - интеграл Пуассона. Итак, математическое ожидание нормального распределения равно параметру , т.е. . Определим дисперсию, учитывая, что . == , т.к. . Итак, . Таким образом второй параметр равен среднему квадратическому отклонению. Вычислим вероятность попадания в заданный интервал нормальной случайной величины.
Часто требуется вычислить вероятность того, что отклонение нормально распределённой величины по абсолютной величине меньше заданного положительного числа , т.е. требуется найти вероятность осуществления неравенства . . . Пример 15. Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение нормально распределённой случайной величины соответственно равны 10 и 2. Найти вероятность того, что в результате испытания примет значение, заключённое в интервале (12; 14). Р е ш е н и е. - .
Правило трёх сигм Преобразуем формулу , полагая . В итоге получим . Если t=3 и, следовательно, , то , т.е. вероятность того, что отклонение по абсолютной величине будет меньше утроенного среднего квадратического отклонения, равна 0,9973. Другими словами, вероятность того, что абсолютная величина отклонения превысит утроенное среднее квадратическое отклонение, очень мала, а именно равна 0,0027. Это означает, что лишь в 0,27% случаев так может произойти. Такие события практически считаются невозможными. В этом и состоит сущность правила трёх сигм: если случайная величина распределена нормально, то абсолютная величина её отклонения от математического ожидания не превосходит утроенного среднего квадратического отклонения. На практике правило трёх сигм применяют так: если распределение изучаемой случайной величины неизвестно, но условие, указанное в приведённом правиле, выполняется, то есть основание предполагать, что изучаемая величина распределена нормально; в противном случае она не распределена нормально.
|
Р е ш е н и е. Из условия задачи следует, что надо найти вероятность попадания случайной величины в интервал . Так как распределение равномерное, то и .