Условия существования двойного интеграла Так как область интегрирования производится произвольным выбором точек , то считается что все площади одинаковы. ![](http://konspekta.net/megapredmetru/baza1/21699399075.files/image222.gif) Достаточные условия существования двойного интеграла Т.: Если функция f(x,y) непрерывна в замкнутой области , то существует. Т.: Если функция f(x,y)ограниченна в замкнутой области и непрерывна в ней всюду, кроме конечного числа кусочно гладкой линии, то двойной интерграл существует. Свойства: 1. ![](http://konspekta.net/megapredmetru/baza1/21699399075.files/image228.gif) 2. ![](http://konspekta.net/megapredmetru/baza1/21699399075.files/image230.gif) 3. Если и следовательно ![](http://konspekta.net/megapredmetru/baza1/21699399075.files/image236.gif) 4. Теорема о среднем: Двойной интеграл от функции f(x,y) равен произведению значений этой функции в некоторой точке области в области интегрирования на интеграл принадлежащий этой области ![](http://konspekta.net/megapredmetru/baza1/21699399075.files/image238.gif) 5.Если f(x;y) ![](http://konspekta.net/megapredmetru/baza1/21699399075.files/image240.gif) 6.Если f1 f2 то ![](http://konspekta.net/megapredmetru/baza1/21699399075.files/image244.gif) 7.| | ![](http://konspekta.net/megapredmetru/baza1/21699399075.files/image248.gif) Если функция f(x,y) непрерывна в области ,ограниченной линиями x=a,x=b при a ,y= ![](http://konspekta.net/megapredmetru/baza1/21699399075.files/image252.gif) Y= где и непрерывные функции. ![](http://konspekta.net/megapredmetru/baza1/21699399075.files/image260.gif) Если функция непрерывна в замкнутой области ,ограничена линиями y=c,y=d (c ![](http://konspekta.net/megapredmetru/baza1/21699399075.files/image266.gif) X=Ф(y),x = (Ф(y) ![](http://konspekta.net/megapredmetru/baza1/21699399075.files/image270.gif) ![](http://konspekta.net/megapredmetru/baza1/21699399075.files/image272.gif) Вычисление двойного интеграла Т.: Если функция f(x,y) непрерывна в замкнутой области ограниченная двумя линиями x=a , x=b, a<b, y= , y= , где непрерывны и . ![](http://konspekta.net/megapredmetru/baza1/21699399075.files/image282.jpg) ![](http://konspekta.net/megapredmetru/baza1/21699399075.files/image284.gif) Т.: Если функция f(x,y) непрерывна в замкнутой области граниченная линиями y=c, y=d , c<d , x= (y), x= (y) ![](http://konspekta.net/megapredmetru/baza1/21699399075.files/image290.gif) Замена переменных в двойном интеграле Двойной интеграл вида , где x , а y ![](http://konspekta.net/megapredmetru/baza1/21699399075.files/image296.gif) X=f(u, v), y= тогда и ![](http://konspekta.net/megapredmetru/baza1/21699399075.files/image302.gif) ![](http://konspekta.net/megapredmetru/baza1/21699399075.files/image304.gif) Так как при первом интегрировании x применяется за const dx=0 ![](http://konspekta.net/megapredmetru/baza1/21699399075.files/image306.gif) du= - ![](http://konspekta.net/megapredmetru/baza1/21699399075.files/image310.gif) dy = - + ![](http://konspekta.net/megapredmetru/baza1/21699399075.files/image314.gif) ![](http://konspekta.net/megapredmetru/baza1/21699399075.files/image316.gif) Определитель Якоби = dv При первом интегрировании выражение для dx примет вид, предполагая, что v=const dv=0 , dx = du при изменении порядка интегрирования, получим = ![](http://konspekta.net/megapredmetru/baza1/21699399075.files/image322.gif) Определние. Замена переменных в тройном интеграле. Тройным интегралом от функции f(x, y, z) по области V называется конечный предел трехмерной интегральной суммы при стремлении к нулю ранга разбиения, порождающего эту сумму (если этот предел существует и не зависит ни от способа разбиения области V на элементарные части, ни от выбора точек на каждой из этих элементарных частей): ![](http://konspekta.net/megapredmetru/baza1/21699399075.files/image324.gif) Пример: ![](http://konspekta.net/megapredmetru/baza1/21699399075.files/image326.gif) Сделаем замену: ![](http://konspekta.net/megapredmetru/baza1/21699399075.files/image328.gif) Область интегрирования U' в новых переменных u, v, w ограничена неравенствами ![](http://konspekta.net/megapredmetru/baza1/21699399075.files/image330.gif) ![](http://konspekta.net/megapredmetru/baza1/21699399075.files/image332.jpg) Вычисляя якобиан, получаем: ![](http://konspekta.net/megapredmetru/baza1/21699399075.files/image334.gif) ![](http://konspekta.net/megapredmetru/baza1/21699399075.files/image336.gif) ![](http://konspekta.net/megapredmetru/baza1/21699399075.files/image338.jpg) Цилиндрическая система координат. Сферическая система координат. Цилиндрическая система координат. ![](http://konspekta.net/megapredmetru/baza1/21699399075.files/image340.jpg) ![](http://konspekta.net/megapredmetru/baza1/21699399075.files/image342.gif) ![](http://konspekta.net/megapredmetru/baza1/21699399075.files/image344.gif) ![](http://konspekta.net/megapredmetru/baza1/21699399075.files/image346.gif) ![](http://konspekta.net/megapredmetru/baza1/21699399075.files/image348.gif) Сферическая система координат ![](http://konspekta.net/megapredmetru/baza1/21699399075.files/image350.gif) ![](http://konspekta.net/megapredmetru/baza1/21699399075.files/image352.gif) ![](http://konspekta.net/megapredmetru/baza1/21699399075.files/image354.gif) ![](http://konspekta.net/megapredmetru/baza1/21699399075.files/image356.gif) Свойства рядов Сумма членов бесконечной числовой последовательности u1,u2,…..un – называется числовым рядом и обозначается ![](http://konspekta.net/megapredmetru/baza1/21699399075.files/image358.gif) Суммы –называются частными суммами ряда Если ряд сходятся ,то , S= ![](http://konspekta.net/megapredmetru/baza1/21699399075.files/image364.gif) Если последние части сумм ряда расходятся, т.е не имеет предел или он бесконечен, то ряд называется расходящимся и ему не ставят соответственно никакой суммы Свойства рядов: 1)сходимость или расходимость ряда не нарушится ,если изменить(отбросить или добавить) конечное число членов 2) ∑Un, ∑CUn Если ряд Un сходится и его сумма равна S, то и ∑СUn сходится , и его ∑=С*Sn(C≠0) 3) ∑Un, ∑Vn Суммой или разностью этих рядов будет - называется следующий ряд ∑( Un±Vn ), где элементы полученные в результате сложения или вычитания исходных элементов с одинаковым номеров Теорема: Если ряды ∑Un , ∑Vn сходятся и их суммы соответственно S и X,то ряд ∑(Un±Vn) также сходится и его сумма равна S±X Разность 2х сходившихся рядов также является сходящейся. Сумма сходящихся и расходящихся рядов является расходящимся рядом. О сумме 2х расходящихся рядов общим утверждением сказать нельзя. Критерий Коши. Для того чтобы последовательность а1,а2….аn была сходящейся необходимо и достаточно, чтобы для любого Ƹ>0 существует номер N,что при n>N и для любого р>0,где p Z выполняется следующее равенство |an₊p- an|<Ƹ Доказательство: Необходимость an a для любого Ƹ>0 найдется номер N,что неравенство |a – an|< при n>N При этом же условии и для любого p Z>0 |a - an₊p| < ![](http://konspekta.net/megapredmetru/baza1/21699399075.files/image370.gif) |an₊p- an|= (an₊p- a)+( a – an) + =Ƹ критерий для ряда Для того чтобы был сходимым необходимо и достаточно чтобы для любого Ƹ>0 существовал номер N , n > N и для любого p>0 выполняется следующее неравенство |Un₊1+ Un₊2+…+Un₊p|<Ƹ |Sn₊p –Sn|<Ƹ На практике используются другие признаки: Если ряд сходится ,то необходимо чтобы общий член ряда стремился к 0. Однако данное условие не является достаточным. Если общий член не стремится к 0,то ряд однозначно расходится. Если ряд сходится, то последовательность его частичных сумм ограничена. |